Jónsson基数
在集合论中，Jónsson 基数（以Bjarni Jónsson命名）是某种大基数。
如果对于每个函数f : [κ]
每个Rowbottom 基数都是 Jónsson。根据 Eugene M. Kleinberg 的一个定理，理论 ZFC +“有一个Rowbottom基数”和 ZFC +“有一个 Jónsson 基数”是等价的。William Mitchell借助 Dodd-Jensen核心模型证明了 Jónsson 基数存在的一致性暗示了Ramsey 基数存在的一致性，因此 Jónsson 基数的存在和 Ramsey 基数的存在是等一致性的.
一般来说，Jónsson 基数不一定是通常意义上的大基数：它们可以是单数。但是单数 Jónsson 基数的存在与可测量基数的存在等价。使用选择公理，许多小基数（ ℵₙ ，例如）可以证明不是 Jónsson。然而，像这样的结果需要选择公理：确定性公理确实意味着对于每个正自然数n，基数 ℵₙ 是琼森。
Jónsson 代数是没有相同基数的适当子代数的代数。（它们与Jónsson-Tarski 代数无关）。在这裡，代数是指具有可数个函数符号的语言模型，换句话说，是具有从该集合的有限乘积到自身的可数个函数的集合。当且仅当没有该基数的 Jónsson 代数时，基数才是 Jónsson 基数。Jónsson 函数的存在表明，如果允许代数进行无限运算，则不存在 Jónsson 基数的类似物。
Rowbottom基数
在集合论中，由Rowbottom ( 1971 )引入的Rowbottom 基数是某种大基数。
一个不可数的 基数 κ 据说是 λ - Rowbottom如果对于每个函数f : [κ]
每个Ramsey 基数都是 Rowbottom，每个 Rowbottom 基数都是Jónsson。根据 Kleinberg 的一个定理，理论 ZFC +“有一个 Rowbottom 基数”和 ZFC +“有一个 Jónsson 基数”是等价的。
通常，Rowbottom 基数不一定是通常意义上的大基数：Rowbottom 基数可以是单数。ZFC +“是否是一个悬而未决的问题 ℵ ω 是 Rowbottom”是一致的。如果是的话，它的一致性强度比 Rowbottom 基数的存在要高得多。确定性公理确实意味着 ℵ ω 是 Rowbottom （但与选择公理相矛盾）。
measurable基数
在数学中，可测基数是某种大基数。为了定义这个概念，人们在基数κ上引入二值测度，或更一般地在任何集合上引入二值测度。对于基数κ，它可以被描述为将其所有子集细分为大集合和小集合，使得κ本身很大，∅并且所有单例{ α }，α ∈ κ都很小，小集合的补集很大并且反之亦然。小于的交集 κ大集合又是大的。
事实证明，具有二值测度的不可数基数是不能从ZFC证明存在的大基数。
Stanislaw Ulam在 1930年引入了可测量基数的概念。
定义
形式上，可测量的基数是不可数的基数κ ，因此在 κ的幂集上 存在 κ 加性、非平凡、0-1值测度。（这裡的术语κ-additive意味着，对于任何序列A α， α
等效地，κ是可测量的意味着它是将宇宙V的非平凡基本嵌入到传递类M的临界点。这种等价性归功于Jerome Keisler和Dana Scott，并使用了模型理论中的超强构造。由于V是一个适当的类别，因此需要解决一个在考虑超能力时通常不存在的技术问题，现在称为斯科特的把戏。
等效地，当且仅当 κ 是具有κ完全非主超滤器的不可数基数时， κ是可测量的基数。同样，这意味着超滤器中任何严格小于κ的集合的交集也在超滤器中。
特性
儘管从ZFC得出，每个可测量的基数都是不可达的（并且是ineffable的，Ramsey等），但与ZF一致的是，可测量的基数可以是后继基数。从 ZF +确定性公理可以得出ω 1是可测的，并且 ω 1的每个子集都包含或不相交于一个封闭且无界的子集。
Ulam 表明，承认非平凡可数加法二值测度的最小基数 κ 实际上必须承认 κ 加法测度。（如果有一些小于 κ 的 measure-0 子集的集合，其并集为 κ，那麽对该集合的诱导度量将是 κ 的极小性的反例。）从那裡，可以证明（使用选择公理）至少这样的基数一定是不可达的。
值得注意的是，如果 κ 承认非平凡的 κ-加法测度，则 κ 必须是正则的。（通过非平凡性和 κ-可加性，任何小于 κ 的基数子集都必须具有测度 0，然后再次通过 κ-可加性，这意味着整个集合不能是小于 κ 的基数小于的并集κ.) 最后，如果 λ < κ，则不可能是 κ ≤ 2 λ。如果是这种情况，那麽我们可以用一些长度为 λ的 0-1 序列的集合来识别κ。对于序列中的每个位置，在该位置具有 1 的序列子集或在该位置具有 0 的子集都必须具有度量 1。这些λ的交集- 因此，许多度量 1 子集也必须具有度量 1，但它将仅包含一个序列，这与度量的非平凡性相矛盾。因此，假设选择公理，我们可以推断出κ是一个强极限基数，这就完成了其不可达性的证明。
如果 κ 是可测的且p ∈ V κ且M（V的超幂）满足 ψ(κ, p )，则α < κ使得V满足ψ ( α , p ) 的集合在 κ 中是平稳的（实际上是一个集合措施1）。特别是如果ψ是 Π 1公式并且V满足 ψ(κ, p )，则M满足它，因此V满足ψ ( α , p )α < κ。此属性可用于表明κ是大多数类型的比可测量弱的大基数的限制。请注意，见证κ可测量的超滤器或测量不能在M中，因为最小的此类可测量基数必须在其下方有另一个这样的基数，这是不可能的。
如果从V的基本嵌入j 1到具有临界点κ 的M 1中开始，则可以将 κ 上的超滤器U定义为 { S ⊆κ : κ∈ j 1 ( S ) }。然后在U上取V的超幂，我们可以得到另一个V的基本嵌入j 2到M 2中。然而，重要的是要记住j 2 ≠ j 1。因此其他类型的大基数，如强基数也可能是可测量的，但不使用相同的嵌入。可以证明，一个强基数 κ 是可测的，并且在其下方也有 κ-许多可测基数。
每个可测量的基数 κ 都是 0-大基数，因为κ M ⊆ M，即从 κ 到M的每个函数都在M中。因此，V κ +1 ⊆ M。
实值可衡量
如果在 κ的幂集上存在一个在单例上消失的 κ 加性概率测度，则基数 κ 称为实值可测。实值可测基数由Stefan Banach ( 1930 ) 提出。Banach & Kuratowski (1929)表明，连续统假设意味着 C 不是实值可测量的。Stanislaw Ulam ( 1930 ) 表明（见下文 Ulam 的部分证明）实值可测量基数是弱不可达的（它们实际上是弱 Mahlo）。所有可测基数都是实值可测基数，当且仅当 κ 大于 C . 因此，一个基数是可测量的，当且仅当它是实值可测量且强不可达的。小于或等于的实值可测量基数 C 当且仅当Lebesgue 测度对所有实数集的可数加性扩展当且仅当在某个非空集的幂集上存在无原子概率测度时才存在。
Solovay (1971)表明，ZFC 中的可测基数、ZFC 中的实值可测基数和 ZF 中的可测基数是等一致的。
实值可测量基数的弱不可访问性
如果[4] [nb 1]假设基数α是Ulam 数
每当μ是 集合 X的外部度量，
μ(X)
μ（｛x｝）=0,x∈X
全部A⊂X是μ可测量的。
然后
card X ≤ α ⇒ μ ( X ) = 0。
等价地，基数α是 Ulam 数，如果
每当
ν是集合Y的外部度量，F是Y的不相交子集族，
ν ( ⋃ F ) < ∞ ,
ν ( A ) = 0 为了 A ∈ F ,
⋃ G 是ν - 可测量的 G ⊂ F
然后
card F ≤ α ⇒ ν ( ⋃ F ) = 0。
最小的无限基数 ℵ₀ 是一个乌兰数。Ulam 数的类在基数后继运算下是封闭的。如果一个无限基数β有一个直接前驱α，它是一个 Ulam 数，假设μ满足性质 ( 1 )–( 4 ) X = β . 在序数和基数的冯诺依曼模型中，选择单射函数
fₓ ： X → α , ∀ X ∈ β ,
并定义集合
U ( b , a ) = { X ∈ β ： F X ( b ) = a } , a ∈ α , b ∈ β .
由于 F X 是一对一的，集合
{ U ( b , a ) , b ∈ β } ( a fixed） ,
{ U ( b , a ) , a ∈ α } ( b fixed)
是不相交的。根据μ的性质 ( 2 ) ，集合
{ b ∈ β ： μ ( U ( b , a ) ) > 0 }
是可数的，因此
card { ( b , a ) ∈ β × α | μ ( U ( b , a ) ) > 0 } ≤ ℵ₀ ⋅ α = α .
因此有一个 b₀ 这样
μ ( U ( b₀ , a ) ) = 0 ∀ a ∈ α
暗示，因为α是 Ulam 数并使用第二个定义（与 ν = μ 和条件（1）-（4）满足），
μ ( ⋃ a ∈ α U ( b₀ , a ) ) = 0。
如果 b₀ < X < β , 然后 fₓ ( b₀ ) = aₓ ⇒ X ∈ U ( b₀ , aₓ ) . 因此
β = b₀ ∪ { b₀ } ∪ ⋃ a ∈ α ü ( b₀ , a ) ,
按属性 ( 2 ), μ { b₀ } = 0 , 并且因为 carb b₀ ≤ α ，由（4）、（2）和（3）， μ ( b₀ ) = 0。 它遵循 μ ( β ) = 0。 结论是β是一个乌拉姆数。
有一个类似的证明证明一组S的 Ulam 数的上确有 card S 乌兰号码又是乌兰号码。连同前面的结果，这意味着不是 Ulam 数的基数是弱不可达的。
0 †
在集合论中，0 †是自然数的一个特定子集，由Robert M. Solovay在 1960 年代未发表的着作中首次定义。（上标 † 应该是dagger，但它在某些浏览器上显示为加号。）定义有点尴尬，因为可能没有满足条件的自然数集。具体来说，如果ZFC是一致的，则 ZFC +“0 †不存在”是一致的。ZFC + "0 †存在”不知道是不一致的（大多数集合论者认为它是一致的）。换句话说，它被认为是独立的（参见大基数的讨论）。它通常表述如下：
0 †存在 当且仅当存在一个非平凡的 基本嵌入 j ： L[U] → L[U]用于相对化的 哥德尔可构造宇宙 L[U]，其中 U是一个 超滤器，证明某些基数 κ 是 可测量的。
如果 0 †存在，那麽仔细分析L[U]的嵌入到其自身中会发现存在 κ 的封闭无界子集和大于 κ 的序数的封闭无界真类，它们一起对于结构是不可识别的 ( L , ∈ , U ) , 并且 0 †被定义为关于L[U]中不可分辨的真公式的一组哥德尔数。
Solovay 证明了0 †的存在源于两个可测量的基数的存在。它传统上被认为是一个大基数公理，儘管它不是一个大基数，也不是一个基数。
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