饮酒者悖论
饮酒者悖论（也称为饮酒者定理、饮酒者原理或饮酒原理）是经典谓词逻辑的一个定理，可以表述为“酒吧里有人，如果他或她正在喝酒，那麽酒吧里的每个人都在喝酒。” 它由数理逻辑学家Raymond Smullyan推广，他在 1978 年出版的《这本书的名字是什麽？
该陈述的明显自相矛盾的性质来自它通常用自然语言陈述的方式。可能有一个人导致其他人喝酒，或者可能有一个人在整个晚上一个人总是最后一个喝酒，这似乎违反直觉。第一个反对意见来自将正式的“如果那麽”陈述与因果关係混淆（请参阅相关性不暗示因果关係或相关性逻辑对于需要前提和结果之间相关关係的逻辑，不像这裡假设的经典逻辑）。该定理的正式陈述是永恆的，消除了第二个反对意见，因为该陈述在某一时刻适用的人不一定是在任何其他时刻它适用的同一个人。
定理的正式陈述是
∃ x ∈ P . [ D ( x ) → ∀ y ∈ P . D ( y ) ] .
其中 D 是任意谓词，P 是任意非空集。
证明
证明首先要认识到，要么酒吧里的每个人都在喝酒，要么酒吧里至少有一个人不喝酒，这是真的。因此，有两种情况需要考虑：
假设每个人都在喝酒。对于任何特定的人来说，如果那个特定的人在喝酒，那麽酒吧里的每个人都在喝酒，这不会是错误的——因为每个人都在喝酒。因为每个人都在喝酒，所以那个人必须喝酒，因为当那个人喝酒时，每个人都喝酒，每个人都包括那个人。
否则至少有一个人不喝酒。对于任何不喝酒的人，如果那个人在喝酒，那麽酒吧里的每个人都在喝酒的陈述在形式上是正确的：它的前项（“那个人在喝酒”）是错误的，因此由于材料的性质，这个陈述是正确的形式逻辑的含义，即如果 P 为假，则“如果 P，则 Q”始终为真。（据说这些陈述是空洞的。）
一个稍微正式一点的表达方式是说，如果每个人都喝酒，那麽任何人都可以成为定理有效性的见证人。如果有人不喝酒，那麽那个特定的不喝酒的人可以证明定理的有效性。
悖论的解释
这个悖论最终是基于形式逻辑的原则，即陈述 A → B 当 A 为假时，即为真，即任何陈述都来自错误陈述 ( ex falso quodlibet )。
对悖论重要的是经典（和直觉）逻辑中的条件是物质条件。它具有以下属性 A → B 只有当B为真或A为假时才为真（在经典逻辑中，但不是直觉逻辑，这也是充分条件）。
因此，正如这裡所应用的那样，“如果他们在喝酒，每个人都在喝酒”这句话在一种情况下被认为是正确的，如果每个人都在喝酒，而在另一种情况下，如果他们不喝酒——即使他喝酒可能和别人喝酒没有任何关係。
历史和变化
Smullyan 在他 1978 年的书中将“饮酒原则”的命名归功于他的研究生。他还讨论了变体（通过用其他更戏剧性的谓词替换 D 获得）：
“地球上有一个女人，如果她不育，整个人类都会灭绝。” Smullyan 写道，这个提法来自他与哲学家约翰培根的一次谈话。
原则的“双重”版本：“至少有一个人，如果有人喝酒，他就会喝酒。”
作为“Smullyan 的 'Drinkers' 原则”或只是“Drinkers' 原则”，它出现在HP Barendregt的“对正确性的追求”（1996 年）中，并附有一些机器证明。从那时起，它经常作为示例出现在有关自动推理的出版物中；有时用来对比证明助手的表现力。
非空域
在允许空域的情况下，饮酒者悖论必须表述如下：
集合 P 满足
∃ x ∈ P . [ D ( x ) → ∀ y ∈ P . D ( y ) ]
当且仅当它是非空的。
或者说：
当且仅当酒吧里有人，酒吧里有人，如果他们在喝酒，那麽酒吧里的每个人都在喝酒。
自由选择悖论
自由选择是自然语言中的一种现象，其中语言析取在与模态运算符交互时似乎接受了逻辑合取解释。例如，以下英语句子可以解释为表示收件人可以看电影并且他们也可以玩电子游戏，具体取决于他们的偏好：
您可以看电影或玩电子游戏。
您可以看电影或玩电子游戏。
自由选择推理是形式语义学和哲学逻辑研究的主要课题，因为它们在模态逻辑的经典系统中无效。如果它们是有效的，那麽自然语言的语义将验证自由选择原则。
自由选择原则： ( ◊ P ∨ ◊ Q ) → ( ◊ P ∧ ◊ Q )
上面的这个符号逻辑公式在经典模态逻辑中无效：将此原则作为公理添加到标准模态逻辑中可以得出结论 ◊ Q 从 ◊ P , 对于任何 P 和 Q . 这种观察被称为自由选择悖论。为了解决这个悖论，一些研究人员提出了在动态语义、线性逻辑、替代语义和好奇语义等非经典框架内对自由选择的分析。其他人提出了将自由选择推论推导为标量含义的方法，这些含义是基于析取和模态的经典词彙条目而出现的。
自由选择推论在道义模态中得到了最广泛的研究，但也出现在其他形式的模态以及命令式、条件式和其他类型的运算符中。 不定名词短语产生了类似的推论，也被称为“自由选择”，儘管研究人员不同意它是否形成具有析取自由选择的自然类。
蕴涵悖论
实质蕴涵的悖论是一组直觉上为假但在解释条件连接词的逻辑系统中被视为真的公式 → 作为物质条件。关于物质蕴涵解释，一个条件公式 P → Q 是真的，除非 P是真的并且 Q 是假的。如果以同样的方式理解自然语言条件句，那就意味着“如果纳粹赢得了第二次世界大战，每个人都会很高兴”这句话是正确的。鑑于这种有问题的后果来自一个看似正确的逻辑假设，它们被称为悖论。他们展示了经典逻辑与关于意义和推理的强大直觉之间的不匹配。
蕴涵悖论
作为最着名的悖论，并且形式上最简单，蕴涵悖论是最好的介绍。
在自然语言中，出现了一个蕴含悖论的例子：
正在下雨
和
没有下雨
所以
乔治华盛顿是用耙子做的。
这源于爆炸原理，这是一条经典逻辑定律，指出不一致的前提总是使论证有效；也就是说，不一致的前提意味着任何结论。这似乎是自相矛盾的，因为儘管上述论证在逻辑上是有效的，但它并不合理（并非所有前提都是正确的）。
建造
有效性在经典逻辑中定义如下：
当且仅当不存在所有前提都为真而结论为假的可能情况时，论证（由前提和结论组成）才是有效的。
例如，一个有效的参数可能会运行：
如果下雨，则存在水（第一个前提）
下雨了（第二个前提）
水存在（结论）
在这个例子中，不可能出现前提为真而结论为假的情况。由于没有反例，因此该论点是有效的。
但是可以构建一个前提不一致的论证。这将满足对有效论证的检验，因为不可能出现所有前提都为真的情况，因此也不可能出现所有前提都为真而结论为假的情况。
例如，前提不一致的参数可能会运行：
肯定在下雨（第一个前提；对）
没有下雨（第二个前提；错误）
华盛顿没有下雨（结论）
由于不可能出现两个前提都为真的情况，那麽当然也不存在前提可能为真而结论为假的情况。所以无论结论是什麽，这个论点都是有效的；不一致的前提意味着所有的结论。
简化
经典悖论公式与公式密切相关，
( p ∧ q ) → p
简化原理，可以很容易地从悖论公式中推导出来（例如，通过 Importation 从 (1) 中推导出来）。此外，试图使用物质暗示来表示英文“if ... then ...”也存在严重问题。例如，以下是一个有效的推论：
( p ∧ q ) → r ⊢ ( p → r ) ∨ ( q → r ) 飲酒者悖論
飲酒者悖論（也稱為飲酒者定理、飲酒者原理或飲酒原理）是經典謂詞邏輯的一個定理，可以表述為“酒吧里有人，如果他或她正在喝酒，那麼酒吧里的每個人都在喝酒。” 它由數理邏輯學家Raymond Smullyan推廣，他在 1978 年出版的《這本書的名字是什麼？
該陳述的明顯自相矛盾的性質來自它通常用自然語言陳述的方式。可能有一個人導致其他人喝酒，或者可能有一個人在整個晚上一個人總是最後一個喝酒，這似乎違反直覺。第一個反對意見來自將正式的“如果那麼”陳述與因果關係混淆（請參閱相關性不暗示因果關係或相關性邏輯對於需要前提和結果之間相關關係的邏輯，不像這裡假設的經典邏輯）。該定理的正式陳述是永恆的，消除了第二個反對意見，因為該陳述在某一時刻適用的人不一定是在任何其他時刻它適用的同一個人。
定理的正式陳述是
∃ x ∈ P . [ D ( x ) → ∀ y ∈ P . D ( y ) ] .
其中 D 是任意謂詞，P 是任意非空集。
證明
證明首先要認識到，要么酒吧里的每個人都在喝酒，要么酒吧里至少有一個人不喝酒，這是真的。因此，有兩種情況需要考慮：
假設每個人都在喝酒。對於任何特定的人來說，如果那個特定的人在喝酒，那麼酒吧里的每個人都在喝酒，這不會是錯誤的——因為每個人都在喝酒。因為每個人都在喝酒，所以那個人必須喝酒，因為當那個人喝酒時，每個人都喝酒，每個人都包括那個人。
否則至少有一個人不喝酒。對於任何不喝酒的人，如果那個人在喝酒，那麼酒吧里的每個人都在喝酒的陳述在形式上是正確的：它的前項（“那個人在喝酒”）是錯誤的，因此由於材料的性質，這個陳述是正確的形式邏輯的含義，即如果 P 為假，則“如果 P，則 Q”始終為真。（據說這些陳述是空洞的。）
一個稍微正式一點的表達方式是說，如果每個人都喝酒，那麼任何人都可以成為定理有效性的見證人。如果有人不喝酒，那麼那個特定的不喝酒的人可以證明定理的有效性。
悖論的解釋
這個悖論最終是基於形式邏輯的原則，即陳述 A → B 當 A 為假時，即為真，即任何陳述都來自錯誤陳述 ( ex falso quodlibet )。
對悖論重要的是經典（和直覺）邏輯中的條件是物質條件。它具有以下屬性 A → B 只有當B為真或A為假時才為真（在經典邏輯中，但不是直覺邏輯，這也是充分條件）。
因此，正如這裡所應用的那樣，“如果他們在喝酒，每個人都在喝酒”這句話在一種情況下被認為是正確的，如果每個人都在喝酒，而在另一種情況下，如果他們不喝酒——即使他喝酒可能和別人喝酒沒有任何關係。
歷史和變化
Smullyan 在他 1978 年的書中將“飲酒原則”的命名歸功於他的研究生。他還討論了變體（通過用其他更戲劇性的謂詞替換 D 獲得）：
“地球上有一個女人，如果她不育，整個人類都會滅絕。” Smullyan 寫道，這個提法來自他與哲學家約翰培根的一次談話。
原則的“雙重”版本：“至少有一個人，如果有人喝酒，他就會喝酒。”
作為“Smullyan 的 'Drinkers' 原則”或只是“Drinkers' 原則”，它出現在HP Barendregt的“對正確性的追求”（1996 年）中，並附有一些機器證明。從那時起，它經常作為示例出現在有關自動推理的出版物中；有時用來對比證明助手的表現力。
非空域
在允許空域的情況下，飲酒者悖論必須表述如下：
集合 P 滿足
∃ x ∈ P . [ D ( x ) → ∀ y ∈ P . D ( y ) ]
當且僅當它是非空的。
或者說：
當且僅當酒吧里有人，酒吧里有人，如果他們在喝酒，那麼酒吧里的每個人都在喝酒。
自由選擇悖論
自由選擇是自然語言中的一種現象，其中語言析取在與模態運算符交互時似乎接受了邏輯合取解釋。例如，以下英語句子可以解釋為表示收件人可以看電影並且他們也可以玩電子遊戲，具體取決於他們的偏好：
您可以看電影或玩電子遊戲。
您可以看電影或玩電子遊戲。
自由選擇推理是形式語義學和哲學邏輯研究的主要課題，因為它們在模態邏輯的經典系統中無效。如果它們是有效的，那麼自然語言的語義將驗證自由選擇原則。
自由選擇原則： ( ◊ P ∨ ◊ Q ) → ( ◊ P ∧ ◊ Q )
上面的這個符號邏輯公式在經典模態邏輯中無效：將此原則作為公理添加到標準模態邏輯中可以得出結論 ◊ Q 從 ◊ P , 對於任何 P 和 Q . 這種觀察被稱為自由選擇悖論。為了解決這個悖論，一些研究人員提出了在動態語義、線性邏輯、替代語義和好奇語義等非經典框架內對自由選擇的分析。其他人提出了將自由選擇推論推導為標量含義的方法，這些含義是基於析取和模態的經典詞彙條目而出現的。
自由選擇推論在道義模態中得到了最廣泛的研究，但也出現在其他形式的模態以及命令式、條件式和其他類型的運算符中。 不定名詞短語產生了類似的推論，也被稱為“自由選擇”，儘管研究人員不同意它是否形成具有析取自由選擇的自然類。
蘊涵悖論
實質蘊涵的悖論是一組直覺上為假但在解釋條件連接詞的邏輯系統中被視為真的公式 → 作為物質條件。關於物質蘊涵解釋，一個條件公式 P → Q 是真的，除非 P是真的並且 Q 是假的。如果以同樣的方式理解自然語言條件句，那就意味著“如果納粹贏得了第二次世界大戰，每個人都會很高興”這句話是正確的。鑑於這種有問題的後果來自一個看似正確的邏輯假設，它們被稱為悖論。他們展示了經典邏輯與關於意義和推理的強大直覺之間的不匹配。
蘊涵悖論
作為最著名的悖論，並且形式上最簡單，蘊涵悖論是最好的介紹。
在自然語言中，出現了一個蘊含悖論的例子：
正在下雨
和
沒有下雨
所以
喬治華盛頓是用耙子做的。
這源於爆炸原理，這是一條經典邏輯定律，指出不一致的前提總是使論證有效；也就是說，不一致的前提意味著任何結論。這似乎是自相矛盾的，因為儘管上述論證在邏輯上是有效的，但它並不合理（並非所有前提都是正確的）。
建造
有效性在經典邏輯中定義如下：
當且僅當不存在所有前提都為真而結論為假的可能情況時，論證（由前提和結論組成）才是有效的。
例如，一個有效的參數可能會運行：
如果下雨，則存在水（第一個前提）
下雨了（第二個前提）
水存在（結論）
在這個例子中，不可能出現前提為真而結論為假的情況。由於沒有反例，因此該論點是有效的。
但是可以構建一個前提不一致的論證。這將滿足對有效論證的檢驗，因為不可能出現所有前提都為真的情況，因此也不可能出現所有前提都為真而結論為假的情況。
例如，前提不一致的參數可能會運行：
肯定在下雨（第一個前提；對）
沒有下雨（第二個前提；錯誤）
華盛頓沒有下雨（結論）
由於不可能出現兩個前提都為真的情況，那麼當然也不存在前提可能為真而結論為假的情況。所以無論結論是什麼，這個論點都是有效的；不一致的前提意味著所有的結論。
簡化
經典悖論公式與公式密切相關，
( p ∧ q ) → p
簡化原理，可以很容易地從悖論公式中推導出來（例如，通過 Importation 從 (1) 中推導出來）。此外，試圖使用物質暗示來表示英文“if ... then ...”也存在嚴重問題。例如，以下是一個有效的推論：
( p ∧ q ) → r ⊢ ( p → r ) ∨ ( q → r )
但是使用“if”將其映射回英語句子會產生悖論。
示例可以讀作“如果開關 A 和開關 B 都閉合，則燈亮。因此，如果開關 A 閉合，則燈亮，或者如果開關 B 閉合，則燈為真。開啟。” 在這裡，“如果……那麼……”語句最可能的自然語言解釋是“只要開關 A 閉合，燈就亮”，以及“只要開關 B 閉合，燈就亮” . 同樣，在這種解釋下，結論的兩個子句都可能是錯誤的（例如在串聯電路中，只有兩個開關都閉合時才會亮起燈）。
但是使用“if”将其映射回英语句子会产生悖论。
示例可以读作“如果开关 A 和开关 B 都闭合，则灯亮。因此，如果开关 A 闭合，则灯亮，或者如果开关 B 闭合，则灯为真。开启。” 在这裡，“如果……那麽……”语句最可能的自然语言解释是“只要开关 A 闭合，灯就亮”，以及“只要开关 B 闭合，灯就亮” . 同样，在这种解释下，结论的两个子句都可能是错误的（例如在串联电路中，只有两个开关都闭合时才会亮起灯）。
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