阿列夫数
在数学中，特别是在集合论中，阿列夫数是一个数字序列，用于表示可以有序排列的无限集的基数（或大小）。它们由数学家Georg Cantor 引入，并以他用来表示它们的符号命名，希伯来字母aleph ( ℵ ）。
自然数的基数是 ℵ₀ （读作aleph-nought或aleph-zero ；有时也使用术语aleph-null ），可良序集的下一个更大的基数是 aleph-one ℵ₁ , 然后 ℵ₂ 等等。以这种方式继续，可以定义一个基数 ℵ α 对于每个序数 α , 如下所述。
这个概念和符号归功于Georg Cantor，，他定义了基数的概念，并意识到无限集可以有不同的基数。
aleph 数不同于无穷大( ∞ ) 常见于代数和微积分中，因为 alephs 测量集合的大小，而无穷大通常被定义为实数线的极端极限（应用于“发散到无穷大”或“增加而不增加bound")，或作为扩展实数线的极值点。
Aleph-nought
ℵ₀（aleph-nought，也 aleph-zero 或 aleph-null）是所有自然数集合的基数，并且是无限基数。所有有限序数的集合，称为 ω 或者 ω₀ （在哪裡 ω 是小写的希腊字母omega )，具有基数 ℵ₀ . 集合有基数 ℵ₀ 当且仅当它是可数无限的，即它与自然数之间存在双射（一一对应）。这种集合的例子是
所有整数的集合，
整数的任何无限子集，例如所有平方数的集合或所有素数的集合，
所有有理数的集合，
所有可构造数的集合（在几何意义上），
所有代数数的集合，
所有可计算数的集合，
所有有限长度二进製字符串的集合，以及
任何给定的可数无限集的所有有限子集的集合。
这些无限序数： ω , ω + 1 , ω ⋅ 2 , ω² , ω^ω 和 ε₀ 属于可数无限集。例如，序列（具有序数 ω ⋅ 2 ) 所有正奇数后跟所有正偶数
{ 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , . . . }
是集合的一个排序（具有基数 ℵ₀ ) 的正整数。
如果可数选择公理（选择公理的弱版本）成立，那麽 ℵ₀ 小于任何其他无限基数。
Alephone
ℵ₁是所有可数序数集合的基数，称为 ω₁ 或者有时 Ω. 这个 ω₁ 本身是一个大于所有可数数的序数，所以它是一个不可数集。所以， ℵ₁ 不同于 ℵ₀ . 的定义 ℵ₁ 暗示（在 ZF 中，没有选择公理的Zermelo-Fraenkel 集合论 ）之间没有基数 ℵ₀和 ℵ₁ . 如果使用选择公理，可以进一步证明基数类是全序的，因此 ℵ₁ 是第二小的无限基数。使用选择公理，可以显示集合中最有用的属性之一 ω₁ : 的任何可数子集 ω₁ 有一个上限 ω₁ . （这是因为可数集合的并集本身是可数的——这是选择公理最常见的应用之一。）这个事实类似于 ℵ₀ ：每个有限自然数集都有一个最大值，它也是一个自然数，有限集的有限并集是有限的。
ω₁ 实际上是一个有用的概念，如果听起来有点怪异。一个示例应用程序是关于可数操作的“关闭”；例如，试图明确描述由任意子集集合生成的σ-代数（参见Borel 层次结构）。这比代数（向量空间、群等）中对“生成”的大多数明确描述更难，因为在这些情况下，我们只需要对有限运算（求和、乘积等）进行闭运算。该过程涉及通过超限归纳为每个可数序数定义一个集合，该集合通过“抛出”所有可能的可数并集和补集，并採用所有这些的并集 ω₁ .
连续统假设
实数集的基数（连续统的基数）是 2^ℵ₀ . 它不能从ZFC（Zermelo-Fraenkel 集合论增加了选择公理）确定，其中这个数字完全符合 aleph 数层次结构，但从 ZFC 可以得出连续统假设CH等价于恆等式
2^ℵ₀ = ℵ₁ .
CH 指出不存在其基数严格介于整数和实数之间的集合。 CH 独立于ZFC：在该公理系统的上下文中，它既不能被证明也不能被证明（前提是ZFC是一致的）。1940 年， Kurt Gödel证明了CH 与ZFC一致，当时他表明它的否定不是ZFC的定理。Paul Cohen在 1963年证明了它独立于ZFC ，当时他通过（当时新的）强制方法证明了 CH 本身不是ZFC的定理.
阿列夫-欧米茄
Aleph-omega 是
ℵ ω = sup { ℵₙ ： n ∈ ω } = sup { ℵₙ ： n ∈ { 0 , 1 , 2 , … } }
其中最小的无限序数表示为ω。也就是基数 ℵ ω 是的最小上界
{ ℵ n ： n ∈ { 0 , 1 , 2 , … } } .
ℵ ω 是第一个在 Zermelo-Fraenkel 集合论中可以证明不等于所有实数集合的基数的不可数基数；对于任何正整数n，我们可以一致地假设 2^ℵ₀ = ℵₙ , 而且可以假设 2^ℵ₀ 和我们喜欢的一样大。我们只是被迫避免将其设置为具有共定性的某些特殊基数 ℵ₀ , 意味着有一个无界函数 ℵ₀ 到它（见伊斯顿定理）。
一般α的Aleph-α
界定 ℵ α 对于任意序数 α , 我们必须定义后继基数运算，它分配给任何基数 ρ 下一个更大的有序红衣主教 ρ + （如果选择公理成立，这是下一个更大的基数）。
然后，我们可以如下定义 aleph 数：
ℵ₀ = ω
ℵ α + 1 = ℵ α +
对于λ，一个无限极限序数，
ℵ λ = ⋃ β < λ ℵ β .
第 α 个无限初始序数写成 ω α . 它的基数写成 ℵ α . 在 ZFC 中，aleph 函数 ℵ 是从序数到无限基数的双射。
omega的不动点
对于任何序数α，我们有
α ≤ ω α .
在很多情况下 ω α 严格大于α。例如，对于任何后继序数α，这成立。然而，由于普通函数的定点引理，有一些极限序数是omega 函数的不动点。第一个是序列的限制
ω , ω下标ω , ω下标ω下标ω , … .
任何弱inaccessible基数也是 aleph 函数的不动点。这可以在 ZFC 中显示如下。认为 κ = ℵ λ 是一个弱inaccessible基数。如果 λ 是后继序数，那麽 ℵ λ 将是successor基数，因此并非不可达的。如果 λ 是一个极限序数小于 κ , 那麽它的共定性（因此它的共定性 ℵ λ ) 将小于 κ 所以 κ 不会是规则的，因此不是弱不可达的。因此 λ ≥ κ 因此 λ = κ 这使它成为一个固定点。
选择公理的作用
任何无限序数的基数都是阿列夫数。每个 aleph 是某个序数的基数。其中最少的是它的初始序数。任何基数为 aleph 的集合与序数是等数的，因此是良序的。
每个有限集都是可良序的，但没有 aleph 作为其基数。
每个无限集的基数是阿列夫数的假设在 ZF 上等价于每个集合的良序的存在，这反过来又等价于选择公理。包含选择公理的 ZFC 集合论意味着每个无限集合都有一个 aleph 数作为其基数（即与其初始序数相等），因此 aleph 数的初始序数可以作为所有集合的代表可能的无限基数。
当在没有选择公理的情况下在 ZF 中研究基数时，不再可能证明每个无限集都有某个 aleph 数作为其基数；基数为 aleph 数的集合正是可以良序的无限集合。Scott 技巧的方法有时被用作在 ZF 的设置中构造基数代表的替代方法。例如，可以将card( S )定义为具有与S相同基数的最小可能秩的集合。这具有card( S ) = card( T )当且仅当S和T具有相同的基数。（集合card( S )通常与S的基数不同，但它的所有元素都有。）
Worldly基数
在数学集合论中，Worldly基数是基数κ ，因此秩 V κ是Zermelo-Fraenkel 集合论的模型。
与inaccessible基数的关係
根据Zermelo关于inaccessible基数的定理，每个inaccessible基数都是Worldly的。根据 Shepherdson 定理，不可达等同于更强的陈述，即 ( V κ , V κ+1 ) 是二阶 Zermelo-Fraenkel 集合论的模型。Worldly与不可达基数不是等价的；事实上，最小的Wordly基数具有可数共尾性，因此是单数大基数。
以下是严格递增的顺序，其中 ι 是最不可达的基数：
最不Worldly的κ。
V κ和V λ满足相同理论的最不Worldly的 κ 和 λ（κ
最不Worldly的 κ 是Worldly基数的极限（等效地，是 κ Worldly基数的极限）。
最不Worldly的 κ 和 λ 与V κ ≺ Σ 2 V λ（这甚至高于上述项目的 κ 倍迭代）。
最不Worldly的 κ 和 λ 与V κ ≺ V λ。
共定性 ω 1的最不Worldly的 κ （对应于将上述项目扩展到长度为 ω 1的链）。
最不Worldly的 κ 共定性 ω 2（等等）。
最小的 κ>ω 与V κ满足替换用 ( V κ ,∈) 满足关係增强的语言。
L κ ( V κ )中最不可达的κ ；等效地，最小的 κ>ω 与V κ满足替换无限逻辑L ∞，ω中的V κ中的公式。
具有传递模型 M⊂ V κ+1的最小 κ扩展V κ满足Morse-Kelley 集理论。
（不是Worldly的大基数）最小的 κ 与V κ具有与V ι相同的 Σ 2理论。
最小的 κ 与V κ和V ι具有相同的理论。
最小的 κ 与L κ ( V κ ) 和L ι ( V ι ) 具有相同的理论。
（不是Worldly的大基数）最小的 κ 与V κ和V ι具有相同的 Σ 2理论和实参。
（不是Worldly的大基数）最小的 κ 与V κ ≺ Σ 2 V ι。
最小的 κ 与V κ ≺ V ι。
V κ和V ι满足 V κ 中相同的L ∞ ,ω陈述的最小无限κ。
具有传递模型 M⊂ V κ+1的最小 κ扩展了V κ并满足与V κ中的参数相同的句子与V ι+1一样。
最不可达的基数ι。
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